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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 27

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

Passo 1

Fala, amigos! Na boa?

A questão quer saber o raio de convergência R e o intervalo onde estão os valores de x para quais a série abaixo converge:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

A gente pode fazer isso utilizando o Teste da Razão. Uma dica pra você saber quando aplicar o Teste da Razão é que ele é bem útil em séries onde temos termos com potências (como x n aqui do nosso caso) e termos fatoriais, como o nosso denominador. A divisão de a n + 1 e a n simplifica esses termos que são complicados de lidar.

Vamos relembrar esse Teste? Basicamente temos que calcular o limite abaixo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Esse limite vai dar um certo resultado, um número que vamos chamar de L . Daí podemos ter 3 casos:

L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).

L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ )

L = 1 → o teste é inconclusivo.

Entendido? Vamos ver o passo a passo.

Passo 2

Aqui nós vamos ter:

a n = x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

E também teremos:

a n + 1 = x n + 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 ( n + 1 ) - 1 )

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Dividindo termos iguais na divisão de frações:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n - 1 ∙ 2 n + 1 x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n - 1

Abrindo a soma de expoentes como multiplicações de potências de mesma base e simplificando as divisões que aparecem. Já aproveitamos para calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ ( x ) n ∙ x ( 2 n + 1 ) ∙ 1 x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 0 < 1

Passo 3

Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de x .

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer x ∈ R . Nosso raio de convergência será então R = ∞ e nosso intervalo de convergência será I = ( - ∞ , ∞ )

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

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