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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

2.

∑ n = 0 ∞ n 2 n x n

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 0 ∞ n 2 n x n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = n 2 n x n

Então:

a n + 1 = n + 1 2 n + 1 x n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 1 x n + 1 n 2 n x n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ⋅ x n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n ⋅ x n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ⋅ x ⋅ x n 2 ⋅ 2 n ⋅ 2 n n ⋅ x n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ⋅ x 2 ⋅ 1 n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ⋅ x 2

= lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n ⋅ x 2

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n ⋅ x 2

= 1 2 x

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 2 x

Passo 4

Pela definição, a série de potências ∑ a n converge absolutamente para lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Neste caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 2 x

Portanto, converge absolutamente para,

1 2 x < 1  

x < 2  

E diverge para 1 2 x > 1   , isto é para |x|>2

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 2 .

Resposta

ρ = 2

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