Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 8
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
E ai turma, tudo bem!? Partiu gabaritar!
Primeiro foque no enunciado da questão. O que ele pede para fazer? Bom, temos uma função da qual precisamos encontrar uma série de potências e determinar seu intervalo de convergência.
Entendi! E agora como faço isso?
Com calma, vamos pensar juntos. Repare na função , e observe que conhecemos uma série de potência exatamente com essa cara. Veja a série geométrica abaixo, onde é a razão:
E ai? São parecidas né! Já sabemos por onde começar. Vamos ajustar até que fique no mesmo formato da série geométrica.
Show!! Mas e o intervalo de convergência? Para isso, podemos utilizar do critério de convergência da série geométrica. A série converge para
Coisa linda essa estratégia ein!? Bora lá iniciar!
Passo 2
Primeiro vamos comparar f(x) e a série que mencionamos na estratégia de resolução:
Agora, vamos fazer uma mudança em para que ela se pareça com essa . Dessa forma:
Percebam uma coisa! Se trocarmos por , temos exatamente a função vezes . Portanto, basta mudar por na série e multiplica-la por , isto é:
Simplificando ainda mais, temos nossa serie de potência de como:
Passo 3
Já o intervalo de convergência.
Vamos lembrar o que mencionamos na estratégia, a série converge para:
E avaliando nossa série, temos que a razão é:
Logo,
Portanto, o seu intervalo de convergência é .
Resposta
Intervalo de convergência: .