Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 12
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência
Passo 1
Eai turminha, tudo beleza? Bora lá iniciar!?
Primeiro, vamos compreender a questão. Precisamos aplicar frações parciais na função e expressa-la como uma soma de série de potência. Por fim, apresentar o intervalo de convergência da série.
E agora, como eu resolvo isso? Calma, vamos destrinchar isso juntos. A primeira etapa é escrever em frações parciais, certo? Depois vamos analisar as funções, e tentar comparar com uma série conhecida (a serie geométrica).
Assim, deve ficar com essa carinha:
Por fim, analisamos a série de potência e determinamos o intervalo de convergência. Também vale lembrar, que a convergência da série geométrica ocorre para o módulo da razão menor que um:
Com essas informações na mão, vamos colocar mão na massa!?
Vamos lá!
Passo 2
A primeira etapa é expressar a nossa função como soma de funções a partir da técnica de frações parciais.
Portanto, precisamos fatorar o denominador. Desta forma:
Agora que conseguimos fatorar o denominador, vamos expressar a função como soma de funções. Ficando assim:
Portanto, precisamos resolver o sistema:
Assim, a solução desse sistema é e . Logo, nossa função f(x) fica:
Passo 3
A ideia por trás da mudança para uma série de potências é comparar com a função abaixo e a sua mudança para série de potências:
Como a nossa função é dada pela soma de duas frações, vamos fazer cada uma dessas frações se parecerem com a função . Vejamos só:
Agora, fazendo as substituições na série para cada uma das frações, obtemos:
Passo 4
Para analisarmos a convergência da série, basta lembrarmos dos conceitos de convergência para séries geométricas. Que é:
Vamos relembrar nossa função:
Para a primeira série a razão é , ela é convergente quando:
Já para a segunda a razão é , logo temos:
Portanto, o intervalo de convergência é regido pela primeira série. Desta forma o intervalo de convergência é:
Resposta
Intervalo de convergência: .