Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 72
Se , determine . Dica: use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo.
Passo 1
Então pessoal, em essência, apenas decodificando a notação utilizada pelo enunciado, temos que encontrar:
Como a função é composta de uma soma de funções, então podemos utilizar uma das principais propriedades da derivação que nos diz que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas. Sendo assim, podemos fazer:
No entanto, assim como o enunciado nos indica, essa não é uma ordem muito interessante para se derivar. Mas po, tem como trocar a ordem sem alterar o resultado dessa forma? Pelo Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, temos que se duas funções forem contínuas, então:
E isso pode ser estendido para três variáveis também, como é o nosso caso. Aqui vale ressaltar também que começamos a derivar da direita para a esquerda na notação que escrevemos ali em cima, beleza?
Passo 2
Uma ordem interessante para derivarmos é começarmos derivando-a em função de logo de cara, porque assim já teremos praticamente o resultado da nossa derivada, saca só:
Já para , uma ordem interessante para derivarmos é começando derivar em função de , pelo mesmo motivo da função , logo:
Passo 3
Sendo assim, como escrevemos no passo 1, temos:
Em termos de derivada e pelo teorema supracitado: