Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 21
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Fala, pessoal! Tranquilidade?
A questão pede pra gente encontrar o intervalo de convergência e raio de convergência da série:
Onde é positivo. O intervalo de convergência nada mais é que o conjunto de valores para nos quais a série converge.
Um método indicado para acharmos esses valores é o Teste da Razão, principalmente para séries onde temos termos exponenciais (como por exemplo, aqui no nosso caso: e , já que esse teste tem uma divisão de frações que simplifica bastante nossa série, eliminando termos.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos esse limite e analisamos seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
Para analisar a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência vamos usar o Teste da Divergência. Retomando aqui com vocês: Sabemos que a série diverge se ou não existir.
Vamo pra nossa resolução!
Passo 2
Teremos então:
E daí:
Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:
Aplicando a propriedade: e cancelando termos iguais que estão dividindo:
Tiramos os termos constantes para fora do limite. Resolvendo o limite acima, temos:
Passo 3
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para:
ou seja, para:
Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência . Uma vez que sabemos que , de fato este será o nosso raio de convergência!
Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que , ou seja
Portanto, convergirá para o intervalo em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Divergência para analisar o comportamento das séries quando tem valores extremos.
Quando , ficamos com a série , uma série divergente.
Já para , ficamos com a série , uma série também divergente.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por .