Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 22

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n x - 4 n n 3 + 1

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 4 n + 1 n + 1 3 + 1 n x - 4 n n 3 + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( x - 4 ) n ∙ x - 4 ∙ ( n + 1 ) n + 1 3 + 1 ∙ n 3 + 1 n ∙ x - 2 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - 4 ) n ∙ x - 4 ∙ ( n + 1 ) n + 1 3 + 1 ∙ n 3 + 1 n ∙ x - 2 n = x - 4 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 n + 1 n n + 1 3 + 1 = x - 4

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x - 4 < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que x - 4 < 1 , ou seja, - 1 < x - 4 < 1 ↔ 3 < x < 5 ....Portanto, convergirá para o intervalo ( 3 , 5 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = 3 e x = 5 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = 3 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 3 + 1 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para x = 5 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ n n 3 + 1 . Quando comparamos esta série com uma do tipo ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ n n 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 , chegamos à conclusão de que a série é convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = [ 3 , 5 ] .

Resposta

R = 1   e   I = [ 3 , 5 ]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ 3 n x n n !
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ - 2 n n + 1 x - 1 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ ( 4 x - 5 ) 2 n + 1 n 3 /
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ x - 2 n 10 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 3 * 5 * 7 … ( 2 n + 1 ) n