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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 25

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ 4 x + 1 n n 2

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 x + 1 n + 1 n + 1 2 4 x + 1 n n 2 = lim n → ∞ ⁡ ( 4 x + 1 ) n ∙ ( 4 x + 1 ) n + 1 2 ∙ n 2 4 x + 1 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( 4 x + 1 ) n ∙ ( 4 x + 1 ) n + 1 2 ∙ n 2 4 x + 1 n = 4 x + 1 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 2 = 4 x + 1

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para 4 x + 1 < 1 → x + 1 4 < 1 4 .

Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 4 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que 4 x + 1 < 1 , ou seja, - 1 < 4 x + 1 < 1 ↔ - 1 2 < x < 0 ....Portanto, convergirá para o intervalo - 1 2 , 0 em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 2 e x = 0 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 2 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n 2 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para x = 0 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ 1 n 2 , uma p-série com p = 2 > 1 , e, portanto, uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = - 1 2 , 0 .

Resposta

R = 1 4   e   I = - 1 2 , 0

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