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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 34

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ 3 * 5 * 7 … ( 2 n + 1 ) n 2 * 2 n x n + 1

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ 3 * 5 * 7 … ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 + 1 ) x n + 2 n + 1 2 2 n + 1 * n 2 2 n 3 * 5 * 7 … 2 n + 1 x n + 1 < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente:

x l i m n → ∞ 2 n + 3 n 2 2 n + 1 2   < 1 → a p e n a s   x = 0   s a t i s f a z   e s s a   i n e q u a ç ã o

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 0 , e o intervalo de convergência da mesma é apenas x = 0 .
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é apenas

    3. x = 0

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 0 , e o intervalo de convergência da mesma é apenas x = 0 .
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é apenas

    3. x = 0

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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