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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 9

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ x n n n 3 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 n + 1 ( 3 ) n * n n 3 n x n < 1

Ou:

x 3 ( lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ) ( lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ) < 1

Desenvolvendo matematicamente:

x 3 ( 1 ) ( 1 ) ⁡ < 1 → x < 3

Passo 2

Que resulta no seguinte intervalo:

- 3 < x < 3  

Logo, quando x = - 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 / 2 → s é r i e   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 → s é r i e - p   c o n v e r g e n t e  

Obs: Chama-se série-p quando atende ao formato ∑ n = 1 ∞ 1 n p .

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 3, enquanto o intervalo é - 3 ≤ x ≤ 3   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 3 ≤ x ≤ 3  
  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 3, enquanto o intervalo é - 3 ≤ x ≤ 3   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 3 ≤ x ≤ 3  
  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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