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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 17

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ n ( x + 3 ) n 5 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( x + 3 ) n + 1 5 n + 1 * 5 n n x + 3 n < 1

Ou:

x + 3 5 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n < 1

Desenvolvendo matematicamente:

x + 3 5 < 1

Desenvolvendo um pouco mais:

- 5 < x + 3 < 5

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 8 < x < 2

Logo, quando x = - 8 , temos:

∑ n = 1 ∞ n - 5 n 5 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n → s é r i e   d i v e r g e n t e

E quando x = 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ n 5 n 5 n = ∑ n = 1 ∞ n → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 5 , e o intervalo de convergência da mesma é - 8 < x < 2
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 8 < x < 2

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 5 , e o intervalo de convergência da mesma é - 8 < x < 2
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 8 < x < 2

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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