Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 5
Encontre uma representação em série de potências para a função:
e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, pessoal? Estamos estudando uma forma de escrever funções como séries de somas infinitas, isso é muito importante para algumas aplicações físicas e para solucionar algumas equações diferenciais.Mas, por agora, nosso objetivo é entender como realizar esse processo, e após isso encontrar o intervalo de convergência para essa série.
O processo de solução é o seguinte. Primeiro vamos nos recordar da série geométrica padrão que é:
Então tentaremos fazer manipulações algébricas na nossa série de modo a obter algo parecido com isso. Vamos lá!?
Por último iremos utilizar algum teste de convergência para definir o intervalo.
Passo 2
Como na série geométrica padrão a constante do primeiro termo do denominador é . Vamos tentar manipular para chegar a isso.
Que tal reescrever a função dividindo o numerador e o denominador por ?
Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão , ou seja:
E isso nos dá exatamente a série de potências:
Passo 3
Como temos uma série geométrica. Por definição:
Em que: se a série é convergente.
Ou seja, para a série:
Como a razão da série geométrica é , temos que ter, pra série convergir:
Ou seja, o intervalo de convergência é .