Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 3
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
3.
Passo 1
Beleza, pessoal?
A questão é simples. Ela quer que a gente represente a função como uma série de potência e depois encontrar o intervalo de convergência. Moleza, né?
Pra começar, vamos reescrever a função assim:
Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão , ou seja, bem parecida com a fórmula da soma da série geométrica:
Ou podemos representar sua soma assim, ó:
E isso nos dá exatamente a série de potências:
Vou elevar cada um dos termos do parênteses a potência . Veja:
Pronto, descobrimos nossa série de potência.
Passo 2
Agora vamos descobrir nosso intervalo de convergência.
Como a razão da série geométrica é , temos que ter:
Ou seja, como nosso raio de convergência é esse acima, o intervalo de convergência só pode ser .