Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

3.

f(x) = 1 / (1 + x)

Passo 1

Beleza, pessoal?

A questão é simples. Ela quer que a gente represente a função como uma série de potência e depois encontrar o intervalo de convergência. Moleza, né?

Pra começar, vamos reescrever a função assim:

f x = 1 1 - ( - x )

Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo a = 1 e razão r = - x , ou seja, bem parecida com a fórmula da soma da série geométrica:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Ou podemos representar sua soma assim, ó:

f x = 1 - x + x 2 - x 3 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

∑ n = 0 ∞ a r n

∑ n = 0 ∞ 1 ( - x ) n

∑ n = 0 ∞ ( - 1 x ) n

Vou elevar cada um dos termos do parênteses a potência n . Veja:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

Pronto, descobrimos nossa série de potência.

Passo 2

Agora vamos descobrir nosso intervalo de convergência.

Como a razão da série geométrica é - x , temos que ter:

- x < 1

x < 1

Ou seja, como nosso raio de convergência é esse acima, o intervalo de convergência só pode ser - 1 ,   1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

( - 1 ,   1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados