Enunciado

Suponha que ∑ n = 0 ∞ c n x n converge quando x = - 4 e diverge quando x = 6 . O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?

∑ n = 0 ∞ c n 8 n

Passo 1

Fala, amigos! Como estão?

Pessoal, se:

∑ n = 0 ∞ c n x n

converge quando x = - 4 , então seu intervalo de convergência é pelo menos - 4 ≤ x < 4 . E, como diverge quando x = 6 , esse intervalo pode ser, no máximo, - 6 ≤ x < 6 , tá beleza?

Repare que a série está centrada em zero (não tem um ( x - a ) ali), por isso o raio de convergência é no mínimo 4 e no máximo 6.

Para entender o comportamento da série dada no enunciado, basta a gente identificar o valor de x e ver se ele cai dentro do intervalo de convergência ou não.

Vamo lá!

Passo 2

Nesse item, a série:

∑ n = 0 ∞ c n 8 n

é a mesma série de potências do enunciado, só que com x = 8 , que com certeza está fora do intervalo de convergência. Então, a série diverge.

Resposta

Série divergente

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