Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 31
Se for um número positivo, encontre o raio de convergência da série
Passo 1
Beleza, galera?
Temos um caso em que precisamos encontrar o raio de convergência de uma série.Apenas para recordar aqui, o raio de convergência está associado com os valores de pros quais a série converge ou diverge. Portanto precisamos avaliar a convergência da série, para diferentes valores .
Então as etapas de solução são a seguinte:
- Identificar qual método de teste de convergência utilizar;
- Identificar quais os valores de para que os critérios do método sejam satisfeitos;
- Definir o raio de convergência a partir desse resultado.
Mas e qual o melhor método para aplicar nesse caso?
Repare que existem termos ao fatorial. Isso indica que o teste da razão é uma ótima opção devido a possibilidade de “cortar” os fatoriais. Vamos relembrar o Teste da Razão no passo 2.
Passo 2
Vamos nos recordar o que é o teste da razão?
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Agora que já entendemos o que será feito.
Partiu colocar a mão na massa!!!
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão pra chegar até ao raio de convergência da série:
Sendo
Teremos
Lembre-se da definição de fatorial:
Então:
Veja que temos o termo se repetindo vezes.
Dividindo cada termo do numerador e do denominador por .
Calculando o limite, temos:
Além disso,
Então:
Repare que o termo se repete vezes no denominador, enquanto no numerador temos a repetição da constante unitária se repetindo vezes.
Passo 4
Então, para termos convergência, pelo Teste da Razão:
Assim, o raio de convergência da série é