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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 36

Encontre uma reta vertical x = k que divida a área englobada pelas curvas x = y , x = 2 e y = 0 em duas partes iguais.

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

O pulo do gato aqui é perceber que se x = k divide a área da região acima do eixo x entre x = y e x = 2 ao meio, então a área entre x = k ,   x = y     e x = 2 e a área entre x = k e x = y (acima do eixo x ) são iguais. O que precisamos fazer é calcular essas duas integrais e igualá-las para descobrir k . Vamos lá!

Passo 2

Essas são as duas regiões que temos:

Para facilitar nossa vida, podemos usar y = x 2 em vez de x = y , e fazer a integral em relação a x , porque nossos extremos de integração podem ser tirados diretamente do gráfico. Belezinha?

A região do lado direito de x = k vamos chamar de A 1 . Ela está limitada por cima pela parábola e por baixo pela reta y = 0 . Os extremos de integração são x = k e x = 2 . Ela fica com essa carinha:

A 1 = ∫ k 2 x 2 - 0 d x = ∫ k 2 x 2 d x

A área do lado esquerdo da reta x = k é bem parecida, só temos mudanças nos extremos de integração:

A 2 = ∫ 0 k x 2 d x

Passo 3

Agora igualamos as duas áreas e calculamos as integrais para descobrir quem é k :

A 1 = A 2

∫ k 2 x 2 d x = ∫ 0 k x 2 d x

8 3 - k 3 3 = k 3 3

Isolando k :

k = 4 1 3

Resposta

k = 4 1 3

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