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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 34

Encontre (d y)/(d x) |_x = - 2 , sabendo que y = ((x + 2))/(x) .

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h)

Passo 2

Vamos então aplicar:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (((x + h + 2))/(x + h) - ((x + 2))/(x))/(h)

Agora vamos manipular o limite:

underset(h -> 0)(lim) (((x + h + 2))/(x + h) - ((x + 2))/(x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x (x + h + 2) - (x + 2) (x + h))/((x + h) x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (x (x + h + 2) - (x + 2) (x + h))/((x + h) x) * (1)/(h) =

= underset(h -> 0)(lim) (x^2 + h x + 2 x - (x^2 + x h + 2 x + 2 h))/((x + h) x h) = underset(h -> 0)(lim) (x^2 + h x + 2 x - x^2 - x h - 2 x - 2 h)/((x + h) x h) =

= underset(h -> 0)(lim) (- 2 h)/((x + h) x h)

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(h -> 0)(lim) (- 2 h)/((x + h) x h) = underset(h -> 0)(lim) (- 2)/((x + h) x) = (- 2)/((x + 0) x) = - (2)/(x^2)

Passo 3

Por último vamos aplicar o valor x = - 2 :

f^' (- 2) = - (2)/((- 2)^2) = - (2)/(4) = - (1)/(2)

Pronto, temos que (d y)/(d x) |_x = - 2 = - (1)/(2) .

Resposta

(d y)/(d x) |_x = - 2 = - (1)/(2)

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