m) ∫ 1 x + e x d x ,   x > 0

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = ∫ 1 x + e x d x ,   x > 0

Quebrando em dois termos, temos:

I = ∫ 1 x d x + ∫ e x d x

Passo 2

Agora vamos lembrar algumas coisas:

∫ e x d x = e x + C

Além disso,

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C

Passo 3

Agora vamos partir para nossa integral usando o lembrete que do Passo 2.

I = I = ∫ 1 x d x + ∫ e x d x

Portanto,

I = ln ⁡ | x | + C 1 + e x + C 2

Juntando as constantes, temos:

I = ln ⁡ x + e x + C

Como x > 0 :

x = x

Por fim,

I = ln ⁡ x + e x + C

Resposta

∫ 1 x + e x d x = ln ⁡ x + e x + C , x > 0

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