Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 71
Seja , onde , , , e . Encontre .
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão disse pra gente que existe uma função definhada por
E pede para que a gente calcule o valor de . Ou seja, precisamos calcular o valor da derivada dessa função no ponto
Além disso, o enunciado também nos conta algumas características das funções que estão envolvidas na definição da função . Ele diz que
e
Mas por que ele diz tudo isso?
Cara, isso é porque nossa função é formada por três outras funções, sendo elas , e . Repara que temos uma função dentro da outra na definição de .
Sendo assim, é uma função composta e para encontrar sua derivada em um ponto específico devemos usar a regra da cadeia.
Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.
Passo 2
Sendo nossa função
Queremos sua derivada , para isso vamos chamar:
Então:
Agora se fizermos:
Então:
Sendo assim, nossa derivada ficará assim:
Vamos perceba que vamos precisar das derivadas:
Substituímos:
Jogando os valores de e :
Agora que já temos a fórmula, vamos aplicar à nossa função.
Passo 3
Queremos saber , então vamos substituir por 1:
E usando as informações do enunciado. Primeiro vamos lembrar que:
Então:
Agora precisamos lembrar que:
Sendo assim:
Para finalizar:
Concluindo:
E prontinho. Temos nossa resposta!