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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 20

Encontre a derivada da função

20) F ( t ) = (3 t - 1)^4 (2 t + 1)^(- 3)

Passo 1

Olá, Yuri aqui e estarei lhe ajudando a resolver essa atividade meu nobre amigo.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e uma multiplicação entre elas. E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto. Utilizamos a regra do produto em caso que precisamos derivar um produto de funções. Matematicamente temos:

(𝑑 (𝑓 (𝑥) * 𝑔 (𝑥)))/(𝑑 𝑥) = 𝑓 (𝑥) ((𝑑 (𝑔 (𝑥)))/(𝑑 𝑥)) + 𝑔 (𝑥) ((𝑑 (𝑓 (𝑥)))/(𝑑 𝑥))

Já a regra da cadeia utilizamos quando precisamos derivar e temos uma função dentro da outra, uma função composta.

Passo 2

Para começar nossa resolução, iremos chamar:

f (t) = (3 t - 1)^4

g (t) = (2 t + 1)^(- 3)

Vamos precisar da derivada para f e g, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Para derivar f (t) em relação a t, podemos fazer:

(d f ( t ))/(d t) = (d f ( t ))/(d u) . (d u)/(d t)

Então vamos chamar:

u = 3 t - 1

E:

f (u) = u^4

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d t) . Então vamos derivar u com relação à t:

(d u)/(d t) = 3

Agora vamos derivar f(t) em função de u para achar (d f ( t ))/(d u) :

(d f ( t ))/(d u) = 4 u^3

Agora vamos colocar na derivada (d f ( t ))/(d t) :

(d f ( t ))/(d t) = 3 ( 4 u^3 )

Substituindo u:

(d f ( t ))/(d t) = 12 (3 t - 1)^3

Passo 3

Para derivar g (t) em relação a t, podemos fazer:

(d g ( t ))/(d t) = (d g ( t ))/(d u) . (d u)/(d t)

Então vamos chamar:

u = 2 t + 1

E:

g (u) = u^(- 3)

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d t) . Então vamos derivar u com relação a t:

(d u)/(d t) = 2

Agora vamos derivar g(t) em função de u para achar (d g ( t ))/(d u) :

(d g ( t ))/(d u) = - 3 u^(- 4)

Agora vamos colocar na derivada (d g ( t ))/(d t) :

(d g ( t ))/(d t) = - 3 u^(- 4) ( 2 )

Substituindo u:

(d g ( t ))/(d t) = - 6 (2 t + 1)^(- 4)

Passo 4

Agora podemos achar a derivada de 𝑦 usando a Regra do Produto, certo? Lembre-se da regra do produto:

(𝑑 (𝑓 (𝑥) * 𝑔 (𝑥)))/(𝑑 𝑥) = 𝑓 (𝑥) ((𝑑 (𝑔 (𝑥)))/(𝑑 𝑥)) + 𝑔 (𝑥) ((𝑑 (𝑓 (𝑥)))/(𝑑 𝑥))

F^' (t) = - 6 (3 t - 1)^4 (2 t + 1)^(- 4) + 12 (2 t + 1)^(- 3) (3 t - 1)^3

Então:

F^' (t) = - 6 ((3 t - 1)^4)/((2 t + 1)^4) + 12 ((3 t - 1)^3)/((2 t + 1)^3)

Isolando 6 ((3 t - 1)^3)/((2 t + 1)^3) :

F^' (t) = 6 ((3 t - 1)^3)/((2 t + 1)^3) [2 - (3 t - 1)/(2 t + 1)]

Abrindo a equação:

F^' (t) = 6 ((3 t - 1)^3)/((2 t + 1)^3) [(t + 3)/(2 t + 1)]

Resposta

F^' (t) = 6 ((3 t - 1)^3)/((2 t + 1)^3) [(t + 3)/(2 t + 1)]

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