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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 22

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

22. x 2 x + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos relembrar como é definida como Série de Maclaurin de f

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

A função f é contínua para todo número real x , exceto para x = - 1 . Portanto, a função f tem todas as derivadas contínuas em torno de x = 0 .

Vemos pela fórmula (1) que para encontrar a série de Maclaurin; basta determinar a k-ésima derivada da função f .

Para determinar mais facilmente a k-ésima derivada da função f , escreveremos a função f de modo que o grau do numerador seja menor que o grau do denominador:

f x = x 2 x + 1 = x 2 - 1 + 1 x + 1

Desenvolvendo os termos

f x = x 2 - 1 x + 1 + 1 x + 1 = x + 1 x - 1 x + 1 + 1 x + 1

Com isso, nós temos que

f x = x - 1 + x + 1 - 1   ( 2 )

Escrevemos a função f como uma potência porque é muito mais fácil diferenciá-la do que uma fração. Se diferenciarmos a expressão (2) em relação à variável x , obteremos

f ' x = 1 + - 1 1 ∙ 1 ∙ x + 1 - 2

Passo 2

Usando a primeira derivada obtida da função f, determinamos a segunda derivada:

f ' ' x = 0 + - 1 1 ∙ 1 ∙ - 2 ∙ x + 1 - 3 = - 1 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ x + 1 - 3

Analogamente, obtemos a terceira derivada:

- 1 3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x + 1 - 4

Portanto, concluímos que a notação da k-ésima derivada da função f é igual a:

f k x = - 1 k ∙ k ! x + 1 k + 1

Como a fórmula para a n-ésima derivada não é válida para k = 0 , então escreveremos a soma na expressão (1) para que possamos escrevê-la "manualmente" quando k = 0 e continuar a soma da série de k = 1 :

∑ k = 0 ∞ f k ( 0 )   k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + ∑ k = 2 ∞ f k ( 0 )   k ! x k   ( 3 )

Substituindo x = 0 na k-ésima derivada da função f , nós temos que

f 0 = - 1 + 1 0 + 1 = 0

f k 0 = - 1 k ∙ k ! 0 - 1 k + 1   ,     k ≥ 2

Com isso, nós temos que

f k 0 = - 1 k k !

Incorporando f ( 0 ) e f k ( 0 ) na expressão (3), nós obtemos a série de Maclaurin,

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + ∑ k = 2 ∞ f k 0 k ! x k  

Que será igual a

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = 0 + 0 1 ! x 1 + ∑ k = 2 ∞ - 1 k ( k ! ) k ! x k = ∑ k = 2 ∞ - 1 k x k

Resposta

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = ∑ k = 2 ∞ - 1 k x k

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