Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 2
Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.
2.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Sabemos pelas condições da tarefa que precisamos determinar polinômios de Taylor de ordem . Portanto, a derivada mais alta que precisamos determinar é a terceira derivada.
Como a função foi criada pela composição da função exponencial , então vamos diferenciar a função usando a Regra da Cadeia:
Pelas condições do problema, sabemos que estamos procurando o polinômio de Taylor em . Por incluir em , a primeira, segunda e terceira derivadas da função , obtemos:
vemos que o polinômio de Taylor de ordem é igual ao primeiro termo da soma, ou seja, é igual a :
Passo 2
Analogamente, pela fórmula, vemos que o polinômio de Taylor de ordem é igual à soma do primeiro e segundo termos da soma, ou seja, é igual a
Devemos determinar os polinômios de Taylor de ordens 2 e 3. Fazendo e , obtemos que
Desenvolvendo os termos
Passo 3
Fazendo e , nós podemos obter o polinômio , com isso,
Com isso, nós temos que
Portanto,