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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 39

Suponha que f ( x ) tenha derivadas até ordem n em x = a . Mostre que o polinômio de Taylor de ordem =n e suas n primeiras derivadas têm os mesmos valores que f e suas n primeiras derivadas têm em x = a .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é

P n x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n

Derivando o polinômio

P n ' x = f ' a + 2 x - a f ' ' a 2 ! + … + n x - a n - 1 f n a n !

Derivando novamente, nós temos que

P n ' ' x = 2 f ' ' a 2 ! + … + n n - 1 x - a n - 2 f n a n !

Temos um padrão, que é o seguinte

P n n x = n n - 1 n - 2 … f n n !

Portanto,

P n ' a = f ' a P n ' ' a = f ' ' a P n n a = f n a

Resposta

P n ' a = f ' a P n ' ' a = f ' ' a P n n a = f n a

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