Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 3
Se Para , encontre a série de Maclaurin de e seu raio de convergência.
Passo 1
Alô, galera! De boa?
A questão pede a série de Maclaurin de que é do formato:
A enésima derivada em o próprio enunciado j�� deu:
Então basta aplicarmos na série.
Quanto ao raio de convergência, para acha-lo precisamos dos valores de que tornam a série convergente. Como a série em questão que será uma série de Maclaurin e já vimos ali em cima que ela vai ter um termo fatorial, vamos usar o Teste da Razão, pois simplifica bastante nossa vida nesses casos. Relembrando o Teste: Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ) e caso o teste é inconclusivo.
Vamo lá!
Passo 2
Sabemos que a série de Maclaurin é da forma
Então, substituindo a -ésima derivada na série
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência de:
vamos usar o teste da razão. Vamos ter:
E com :
Aplicando no limite:
Vamos começar abrindo as somas de expoentes usando a propriedade: e já podemos simplificar os termos:
Calculando o limite enfim:
Então temos que para convergir , então o raio da série é .