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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 40

(a) Começando com a série geométrica ∑ n = 0 ∞ x n , encontre a soma da série

∑ n = 1 ∞ n x n - 1                     x < 1

(b) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.

(i) ∑ n = 1 ∞ n x n ,           x < 1 (ii) ∑ n = 1 ∞ n 2 n

(c) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.

(i) ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) x n ,           x < 1

(ii)   ∑ n = 2 ∞ n 2 - n 2 n (iii)   ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n

Passo 1

(a) Para achar a série ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 , podemos derivar ∑ n = 0 ∞ x n , como sabemos a soma dessa série, colocamos na igualdade e derivamos dos dois lados

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

d d x ∑ n = 0 ∞ x n = d d x 1 1 - x

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = 1 1 - x 2

Passo 2

(b) (i) Essa série ∑ n = 1 ∞ n x n é basicamente a série que acabamos de calcular a soma

∑ n = 1 ∞ n x n = x ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = x 1 - x 2

(ii)

∑ n = 1 ∞ n 2 n = ∑ n = 1 ∞ n 1 2 n

Calculamos em (i) a soma de

∑ n = 1 ∞ n x n = x 1 - x 2

Então podemos calcular a soma por essa fórmula

∑ n = 1 ∞ n 1 2 n = 1 2 1 - 1 2 2 = 1 2 1 2 2

= 1 1 / 2 = 2

Passo 3

(c) (i) A série ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) x n é a segunda derivada da série geométrica do enunciado, como calculamos a primeira no item (a), podemos seguir o mesmo padrão para achar a segunda

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = 1 1 - x 2

d d x ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = d d x 1 1 - x 2

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2 = 2 1 - x 3

(ii) Vamos manipular um pouco o termo da série, para que ela fique na forma da serie de (i)

∑ n = 2 ∞ n 2 - n 2 n =   ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) 2 2 ⋅ 2 n - 2 = 1 4 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 1 2 n - 2

1 4 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 1 2 n - 2 = 1 4 2 1 - 1 2 3 = 1 2 1 2 3 = 1 1 2 2 = 2 2 = 4

(iii) Para calcular essa série, podemos dizer que

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n =   ∑ n = 1 ∞ n 2 - n 2 n + ∑ n = 1 ∞ n 2 n

E essas duas séries nós calculamos o valor nessa questão

= 4 + 2 = 6

Resposta

(a)

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = 1 1 - x 2

(b)

(i)

∑ n = 1 ∞ n x n = x 1 - x 2

(ii)

∑ n = 1 ∞ n 2 n = 2

(c)

(i)

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2 = 2 1 - x 3

(ii)

∑ n = 2 ∞ n 2 - n 2 n = 4

(iii)

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n = 4

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