Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 16
Encontre a série de Maclaurin para usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que possui uma expansão em série de potências. Não mostre que Encontre também o raio de convergência associado. Para a série:
Passo 1
Vamos lá meu amigo, aqui teremos que utilizar a definição da série Maclaurin para encontrar uma expansão em séries de potência para a função:
E após isso teremos que encontrar o raio de convergência. Vamos nos recordar a definição da série Maclaurin?
Uma função qualquer pode ser escrita em uma forma de séries utilizando a seguinte equação:
E como podemos saber o raio de convergência de uma série de potências? Ora vamos utilizar o teste da razão.
E o que é o teste da razão?!
É um teste que diz o seguinte sobre as séries:
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Agora que tudo ficou muito claro. Podemos colocar a mão na massa?!
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a função:
A série de Maclaurin será dada por:
Veja que representa a derivada da função, a segunda derivada. E assim segue:
Passo 3
Então a sequencia da série que representa a nossa função é:
Lembre-se que . Por isso podemos escrever
Temos, que essa sequência pode ser representada por:
Passo 4
Sendo assim, pelo método da razão, temos:
E
Simplificando teremos:
Então temos:
Como estamos interessados apenas nos valores absolutos, e por isso há o módulo, podemos “ignorar” os termos referente a mudança de sinal e , e lembrando da definição de fatorial em que:
Simplificando:
Passo 5
Dessa forma, temos que o limite é zero para qualquer valor de .
Isso significa que a série é convergente para todo e qualquer valor de .
E, consequentemente