Uma série de Taylor sempre converge para sua função geradora? Explique.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Não, a série de Taylor da função f ( x ) não precisa convergir para f ( x ) .

O polinômio de Taylor de enésimo grau de f sobre x = a é denotado por P n x   e é definido como a enésima soma parcial da série de Taylor gerada por f sobre x = a .

P n x = ∑ k = 1 n f k ( x - a ) k k !  

Assim, o erro entre f ( x ) e P n ( x ) é chamado de lembrete e é denotado por R n ( x ) .

Assim, R n x = f x - P n ( x )   e então temos a equação:

f x = R n x + P n ( x )

Se lim n → ∞ ⁡   R n x = 0   para x - a < R então sua série de Taylor gerada por f x converge para f para x - a < R .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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