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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 31

Quais são as séries de Taylor para 1 1   -   x , 1 1   +   x ,   e x   ,   s e n   x ,   c o s   x ,   l n   1 +   x   e   t g - 1   x ? Como você estima os erros envolvidos na substituição dessas séries com suas somas parciais?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

As séries de Taylor para as funções dadas são:

1 1   -   x = 1 + x + x 2 + x 3 + … + x n + … = ∑ n = 0 ∞ x n             p a r a     x < 1  

1 1 +   x = 1 - x + x 2 - x 3 + … + ( - 1 ) n x n + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n             p a r a     x < 1

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + x n n ! + … = ∑ n = 0 ∞ x n n !             p a r a     x < ∞

s e n x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1             p a r a     x < ∞

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n             p a r a     x < ∞

l n 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 - … + ( - 1 ) n + 1 x n n   + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 x n n             p a r a - 1 <   x ≤ 1

tan - 1 ⁡ x = x - x 3 3 + x 5 5 - … + ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1   + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1             p a r a - 1 ≤   x ≤ 1

Note que as três primeiras séries são séries de Taylor geradas pelas suas respectivas funções no ponto x = 0, logo o seu erro pode ser aproximado através da expressão:

R n x = f n + 1 c ( n + 1 ) ! x - a n + 1

para algum c entre 0 e x .

Já as quatro últimas são séries alternadas e todas convergem pois segue os critérios de convergência de uma série alternada, portanto seu erro é determinado pela expressão:

E =   L - s n ≤ a n + 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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