Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 14
Encontre a série de Taylor para centrada no valor dado de . [Assuma que tem expansão em uma série de potências. Não mostre que .]
Passo 1
Falaa ai, tudo certo?
Bom, essa questão pede pra encontrar a série de Taylor pra essa função que ela deu. Vamos começar relembrando como é dada uma série de Taylor:
O que a gente vai fazer pra resolver é calcular para alguns valores de e encontrar uma recorrência, para escrever essa derivada em termos de .
Feito isso, vamos aplicar isso na fórmula da série de Taylor para o valor de .
Passo 2
Vamos começar derivando a função . Portanto,
O que da pra perceber nessas derivadas:
- As derivadas de ordem par têm sinal negativo e as de ordem ímpar têm sinal positivo, então vamos ter um termo
- Os numeradores das derivadas são fatoriais de a menos que sua ordem, ou seja,
- Os denominadores são elevado à potência da ordem da derivada, ou seja,
Com isso, a gente pode generalizar as derivadas de ordem :
Para essa fórmula não vai funcionar, porque .
Passo 3
Voltando para a série de Taylor:
Nesse caso:
Para substituir a fórmula que a gente generalizou para , vamos aplicar para :
Substituindo na série:
Para simplificar essa expressão, vamos analisar :
Então:
Pronto! Chegamos a nossa série!