Encontre a série de Taylor para f x centrada no valor dado de a . [Assuma que f tem expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 .] f x = ln ⁡ x , a = 2

f x = ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 2 n ⋅ x - 2 n

Enunciado

Falaa ai, tudo certo?

Bom, essa questão pede pra encontrar a série de Taylor pra essa função que ela deu. Vamos começar relembrando como é dada uma série de Taylor:

O que a gente vai fazer pra resolver é calcular para alguns valores de e encontrar uma recorrência, para escrever essa derivada em termos de .

Feito isso, vamos aplicar isso na fórmula da série de Taylor para o valor de .

Vamos começar derivando a função . Portanto,

O que da pra perceber nessas derivadas:

As derivadas de ordem par têm sinal negativo e as de ordem ímpar têm sinal positivo, então vamos ter um termo
Os numeradores das derivadas são fatoriais de a menos que sua ordem, ou seja,
Os denominadores são elevado à potência da ordem da derivada, ou seja,

Com isso, a gente pode generalizar as derivadas de ordem :

Para essa fórmula não vai funcionar, porque .

Voltando para a série de Taylor:

Nesse caso:

Para substituir a fórmula que a gente generalizou para , vamos aplicar para :

Substituindo na série:

Para simplificar essa expressão, vamos analisar :

Então:

Pronto! Chegamos a nossa série!