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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 55

Encontre

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f (x) = (1)/(x)

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

Onde f (x) = (1)/(x) .

Então, calculando f ( x + h ) :

f (x + h) = (1)/(x + h)

Substituindo na expressão que queremos:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = ((1)/(x + h) - (1)/(x))/(h)

Fazendo o mmc:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = ((x - ( x + h ))/(x ( x + h )))/(h)

Arrumando essa divisão:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (x - ( x + h ))/(x h ( x + h ))

Arrumando o numerador:

(f (x + h) - f (x))/(h) = (x - x - h)/(x h (x + h))

(f (x + h) - f (x))/(h) = (- h)/(x h ( x + h ))

Podemos simplificar o h :

(f (x + h) - f (x))/(h) = (- 1)/(x ( x + h ))

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

Vamos achar f (w) :

f (w) = (1)/(w)

Substituindo:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = ((1)/(w) - (1)/(x))/(w - x)

Fazendo o mmc:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = ((x - w)/(x w))/(w - x)

Arrumando essa divisão:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (x - w)/(x w ( w - x ))

Repare que x - w = - ( w - x ) , então:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- ( w - x ))/(x w ( w - x ))

Simplificando ( w - x ) :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- 1)/(x w)

Só isso!

Resposta

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (- 1)/(x ( x + h ))

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- 1)/(x w)

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