Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 39
Encontre as funções e seus domínios
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos dá as seguintes funções:
E
Desejamos encontrar as funções compostas indicadas abaixo:
Para isso, devemos lembrar que uma função composta nada mais é do que uma função “dentro” da outra.
Dessa forma, vamos substituir no lugar de da função mais externa o valor da função que está mais interna!!
Também queremos determinar o domínio da função... mas o que é isso???
Bom... O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (ou argumentos) para os quais a função está definida.
Assim, devemos analisar se haverá alguma restrição que irá impossibilitar a função de ter um número real!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Assim, vamos calcular utilizando o método descrito no passo 1.
Aplicando , temos:
Agora, implementando a , temos:
Perceba que se ou , haverá uma indeterminação na função (divisão por zero).
Assim, o domínio são todos os números reais diferentes de e , ou seja:
Passo 3
O mesmo procedimento é utilizado para encontrarmos .
Aplicando a função mais interna ():
Implementando com :
Para que essa função exista, o denominador não pode ser zero!!
A expressão tem com raiz .
Assim, o domínio de são todos os números reais com exceção de , ou seja:
Passo 4
Agora, fazendo para , temos:
Veja que a única restrição é que se haverá uma indeterminação no termo .
Por outro lado, não haverá restrições no termo pois o está elevado ao quadrado no denominador (tornando qualquer número positivo e fazendo com que o denominador nunca seja zero).
Assim, o domínio são todos os reais com , ou seja:
Passo 5
E, para , temos:
Para que essa função exista, o denominador não pode ser zero, ou seja:
Logo, o domínio são todos os números reais com a exceção de , ou seja: