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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 12

Encontre a solução para a equação diferencial que satisfaça as condições iniciais dadas

d y d x = x sin ⁡ x y  

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

d y d x = x sin ⁡ x y  

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro.

d y d x = x sin ⁡ x y  

y   d y = x sin ⁡ x d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ y   d y   = ∫ x sin ⁡ x d x

Do lado esquerdo temos uma integral bem tranquilinha

∫ y   d y  

= y 2 2

Do lado direito que vamos precisar utilizar um pouco mais de nossos conhecimentos de calculo. Vamos ter que apelar para integração por partes. Então se temos u t     e v ( t ) e derivarmos teremos :

d d t u v = u ' v + u v '

E se em seguida, integrarmos ambos os lados e teremos de volta uv

∫ d d t u v d t =   ∫ u ' v + u v ' d t

u v = ∫ u ' v d t + ∫ u v ' d t  

∫ u ' v d t = u v - ∫ u v ' d t  

Faremos então u ' = sin ⁡ x e v =   x

∫ x sin ⁡ x = - x c o s x - ∫ - cos ⁡ x   d x

=   - x c o s x + s i n x

Beleza! Agora podemos unir essas duas partes

y 2 2 =   - x c o s x + s i n x  

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por 2 , não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Beleza!

y 2 2 =   - x c o s x + s i n x + C

y 2 =   - 2 x cos ⁡ x   + 2 sin ⁡ x + C  

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y 0 = - 1

- 1 2 =   - 2 * 0 cos ⁡ 0 + 2 sin ⁡ 0 + C  

C = 1

Logo podemos escrever nossa função como

y 2 =   - 2 x cos ⁡ x   + 2 sin ⁡ x + 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y 2 =   - 2 x cos ⁡ x   + 2 sin ⁡ x + 1

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