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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 42

Uma esfera com raio de 1   m está a uma temperatura de 15   ° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2   m e temperatura de 25   ° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das duas esferas satisfaz a equação diferencial

d 2 T d r 2 + 2 r d T d r = 0

Se fizermos S = d T d r , então S satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem. Encontre uma expressão para a temperatura T r entre as duas esferas.

Passo 1

Bom, galera. O exercício está nos pedindo pra encontrar uma expressão pra T r , e isso significa que devemos resolver a equação diferencial:

d 2 T d r 2 + 2 r d T d r = 0

Mas, parece complicado resolver uma equação diferencial de segunda ordem, né mesmo? A boa notícia é que, se a gente escrever S = d T d r   , a gente acaba caindo numa equação diferencial de primeira ordem, e separável ainda! Quer ver?

d d r d T d r + 2 r d T d r = 0

d S d r + 2 r   S = 0

d S d r = - 2 S r

1 S   d S = - 2 r   d r

Passo 2

Beleza! Agora vamos integrar cada lado pra resolver:

∫ 1 S   d S = ∫ - 2 r   d r + C

ln ⁡ S = - 2 ln ⁡ r + C

ln ⁡ S = ln ⁡ r - 2 + ln ⁡ C

ln ⁡ S = ln ⁡ r - 2   C

S = C r 2

Passo 3

Show! Agora a gente volta com S = d T d r e resolvemos mais uma equação diferencial separável:

d T d r = C r 2

1   d T = C r 2   d r

∫ 1   d T = ∫ C r 2   d r + D

T = - C r + D

Agora só falta descobrir os valores das constantes C e D , então bora usar mais duas informações que o enunciado nos dá:   T 1 = 15 e T 2 = 25

15 = - C 1 + D ⇒ D = 15 + C

25 = - C 2 + 15 + C ⇒ C = 20     e   D = 35

Então, ficamos com a seguinte expressão:

T r = - 20 r + 35

Resposta

T r = - 20 r + 35

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