Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 48
Um tanque contém de água pura. Água salgada com de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de . Água salgada com de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de . A solução é mantida completamente misturada e sai do tanque a uma taxa de . Quanto sal há no tanque
(a) depois de minutos e
(b) depois de uma hora?
Passo 1
Beleza, galera? Aqui a gente tem um tanque com água pura inicialmente, e vamos adicionar duas soluções de água e sal, ao mesmo tempo em que vamos retirando parte da mistura, de forma que o volume do tanque sempre permanece constante. Deu pra entender? É como se fossem duas torneiras abertas num tanque, com o ralo destampado.
Nossa missão aqui é buscar montar uma equação diferencial que descreva essa situação, pra então resolvê-la e acharmos nossas respostas.
Passo 2
Vamos chamar de a quantidade de sal no tanque, então é a variação dessa quantidade no tempo. Como tá entrando e saindo sal, essa variação vai ser a quantidade que tá entrando por tempo menos a quantidade que tá saindo por tempo:
Mas agora, que taxas são essas? Será que devíamos somar as duas taxas de entrada das soluções e subtrair a taxa de saída da mistura?
NÃO! Pois isso seriam as taxas de soluções de água com sal, não somente do sal. A gente precisa saber o quanto de cada solução corresponde a sal, ou seja, usamos a concentração:
Lembrando que as concentrações das duas soluções de entrada foram fornecidas pelo enunciado e a concentração da mistura que sai é justamente a concentração do tanque
Passo 3
(a) Show! Agora vamos resolver a equação diferencial pra achar , que é o que esse item tá pedindo. Ela é do tipo separável, então só separa cada variável de um lado e integra:
Sabemos que a quantidade inicial de sal era nula, pois só havia água pura, então usamos pra achar a constante:
Agora estamos pronto pra achar quem é :
Passo 4
(b) Show! No passo anterior a gente encontrou a quantidade de sal no tanque em função do tempo, então, pra descobrir qual vai ser a quantidade depois de uma hora é só calcular , pois nossos cálculos foram feito para em minutos, beleza?
Então depois de uma hora já teremos aproximadamente de sal no tanque, beleza?
Resposta
(a)
(b)