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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 52

A model for tumor growth is given by the Gompertz equation

d v d t = a   l n b - l n v v

where a and b are positive constants and V is the volume of the tumor measured in mm3.(a) Find a family of solutions for tumor volume as a function of time.(b) Find the solution that has an initial tumor volume of V ( 0 )   =   1   m m 3

Passo 1

A sacada dessa questão é perceber que estamos com uma equação diferencial de variável separável Tudo que for V vai para um lado, tudo que for t vai para o outro.

d v d t = a l n b - l n v v  

1 l n b - l n v v d v = a   d t  

Primeiro vamos resolver essa equação diferencial e depois descobrimos a solução para os problemas de contorno.

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ 1 l n b - l n v v d v   = ∫ a d t

Do lado direito é tranquilinho

∫ a d t

=   a t

Agora do lado esquerdo vamos precisar ser sagazes. Aqui tenho que reconhecer que para sacar como se resolve tem que estar bem afiado mesmo com os pulos do gato de calculo. A sacada da vez é fazer uma substituição

u =   l n b - l n v

d u =   - 1 v   d v

Logo nossa integral fica

∫ 1 l n b - l n v v d v  

∫ - 1 u d u  

=   - ln ⁡ u

Agora vamos voltar de u → v  

=   - ln ⁡   l n b - l n v

Show! Agora podemos unir essas duas partes

- ln ⁡   l n b - l n v = a t

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C.

- ln ⁡   l n b - l n v + C = a t

Podemos melhor a cara dessa função

t = - ln ⁡   l n b - l n v + C a

Mas como nossa constante é completamente arbitraria. Qualquer operação com esse valor , não faz a menor diferença, então podemos escrever que

t = - ln ⁡   l n b - l n v a + C

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

V 0 = 1

0 = - ln ⁡   l n b - l n 1 a + C

C   = ln ⁡ ( ln ⁡ b ) a

Então podemos escrever nossa função como

t = - ln ⁡   l n b - l n v a +   ln ⁡ ( ln ⁡ b ) a  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

a )   t = - ln ⁡   l n b - l n v a + C

b   )   t = - ln ⁡   l n b - l n v a +   ln ⁡ ( ln ⁡ b ) a  

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