Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 45
Um tanque contém de água salgada com de sal dissolvido. Água pura entra no tanque a uma taxa de . A solução é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. Quanto sal há no tanque
(a) após minutos e
(b) após minutos?
Passo 1
Bom, pessoal. Aqui a gente tem um tanque com água e sal. Você concorda que se eu adiciono mais água pura, mas subtraio água junto com sal, a tendência é que o sal vá diminuindo?
Nós vamos calcular a quantidade que vai restar, e já que o enunciado nos deu algumas taxas, a dica implícita é que vamos precisar montar uma equação diferencial.
Passo 2
Vamos chamar de a quantidade de sal no tanque, então é a variação dessa quantidade no tempo. Como não tá entrando sal, tá apenas saindo, essa variação vai ser a quantidade que tá saindo por tempo, e com o sinal negativo, justamente porque está diminuindo:
Mas agora, quanto que tá saindo? O enunciado nos disse que a solução escoa do tanque na mesma taxa que a água entra, então será que ?
NÃO! Pois isso é a taxa de saída da solução água com sal, não somente do sal. A gente precisa saber o quanto dessa solução corresponde a sal, ou seja, a concentração:
Agora, qual a concentração de sal? Será que é ?
NÃO! Isso seria a concentração inicial, observe que a quantidade de sal na solução muda com o tempo, então a concentração deve ser a quantidade de sal atual sobre o volume do tanque:
Passo 3
(a) Show! Agora vamos resolver a equação diferencial pra achar , que é o que esse item tá pedindo. Ela é do tipo separável, então só separa cada variável de um lado e integra:
Sabemos que a quantidade inicial de sal era , então usamos pra achar a constante:
Prontinho!
Passo 4
(b) Agora ele quer saber a quantidade de sal quando , é só jogar isso na solução do item anterior, né?
Então ainda restaram cerca de de sal, beleza?
Resposta
(a)
(b)