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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 10

Verifique que a equação diferencial

x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0 ,   x > 0

Possui a solução particular y = x n J n ( x )

Passo 1

Vamos lá

Temos que fazer y = x n J n ( x ) na equação:

x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0

Mas antes vamos encontrar y ' e y ' ' derivando x n J n ( x ) ok?

Vamos ter

y ' = x n J n ' + n x n - 1 J n

E:

y ' ' = x n J n ' ' + 2 n x n - 1 J n ' + n n - 1 x n - 2 J n

Agora sim, vamos substituir isso na nossa equação

Passo 2

Nossa equação vai ficar assim:

x n + 1 J n ' ' + 2 n x n J n ' + n n - 1 x n - 1 J n + 1 - 2 n x n J n ' + n x n - 1 J n + x n + 1 J n = 0

x n + 1 x 2 J n ' ' + x J n ' - n 2 J n + x 2 J n = 0

x n + 1 x 2 J n ' ' + x J n ' + x 2 - n 2 J n = 0

Sendo J n uma solução da equação de Bessel, temos

x n + 1 . 0 = 0

0 = 0

Igualdade verdadeira!! Então, realmente y = x n J n ( x ) é uma solução

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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