Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 3b

3. A. Encontre a solução u x ,   y da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno

u 0 ,   y = 0 ,         u a ,   y = f y ,             0 < y < b ,

u x , 0 = h x ,         u x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Sugestão: Considere a possibilidade de somar as soluções de dois problemas, um com condições de contorno homogêneas, exceto por u a ,   y = f y , e o outro com condições de contorno homogêneas, exceto por u x ,   0 = h x .

B. Encontre a solução se h x = x a 2 e f y = 1 - y / b .

Passo 1

L e t r a   B :

No item A , vimos que a solução do nosso problema é a soma de outros 2 : v e w :

u = v x ,   y + w x ,   y

De tal forma que:

v x , y = ∑ n = 1 ∞ b n - s e n h n π b a cosh ⁡ n π b a cosh ⁡ n π y a + s e n h n π y a s e n   h n π y a  

Onde...

b n = - 2 cosh ⁡ n π b a a   s e n h n π b a ∫ 0 a h x s e n   n π x a d x

Ou ainda, para o problema w ...

w x , t = ∑ n = 1 ∞ c n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

c n = 2 b senh ⁡ n π a b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

Bem, para encontrar a solução, dava a função h e y , precisamos apenas encontrar os coeficientes b n e c n resolvendo as integrais, saca?

Passo 2

Vamos primeiro determinar o valor da integral caso h seja:

h x = x a 2

Precisamos então calcular a seguinte integral:

∫ 0 a h x s e n   n π x a d x =

∫ 0 a x a 2 s e n   n π x a d x

Usando integração por partes chamando de x / a 2 de u e o seno de d v ...

u = x a 2               e           d v = s e n   n π x a d x

d u = 2 a x a d x               e           v = - a n π cos ⁡ n π x a

Então...

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - a n π x a 2 cos ⁡ n π x a - ∫     - a n π cos ⁡ n π x a d x   →

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - x 2 a n π cos ⁡ n π x a + 2 a n π ∫     cos ⁡ n π x a d x   →

Integrando agora o cosseno...

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - x 2 a n π cos ⁡ n π x a + 2 a n π s e n   n π x a n π a   →

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - x 2 a n π cos ⁡ n π x a + 2 n 2 π 2 s e n   n π x a  

Então...

∫ 0 a x ⋅ s e n   n π x a d x   =   - x 2 a n π cos ⁡ n π x a + 2 n 2 π 2 s e n   n π x a 0 a =

- a 2 a n π cos ⁡ n π + 2 n 2 π 2 s e n   n π     →

Considerando que s e n   n π é 0 sempre, enquanto que cos ⁡ n π é - 1 n ...

b n = - 2 cosh ⁡ n π b a a   s e n h n π b a ∫ 0 a h x s e n   n π x a d x   →

b n = - 2 cosh ⁡ n π b a a   s e n h n π b a - a n π - 1 n   →

b n = 2 - 1 n cosh ⁡ n π b a n π   s e n h n π b a

Passo 3

Beleza, agora para encontrar o outro amiguinho, o c n devemos integrar...

∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y   →

∫ 0 b 1 - y b sen ⁡ n π y b d y

Usando integração por partes novamente...

u = 1 - y b               e           d v = s e n   n π y b d y

d u = - 1 b d y               e           v = - b n π cos ⁡ n π y b

Então...

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - b n π 1 - y b cos ⁡ n π y b - ∫     - b n π cos ⁡ n π y b - 1 b d y   →

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - b n π 1 - y b cos ⁡ n π y b - 1 n π ∫     cos ⁡ n π y b d y   →

Integrando agora o cosseno...

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - b n π 1 - y b cos ⁡ n π x a - 1 n π s e n   n π y b n π b   →

∫     x ⋅ s e n   n π x a d x = - b n π 1 - y b cos ⁡ n π x a - b n 2 π 2 s e n   n π x a  

Então...

∫ 0 b 1 - y b sen ⁡ n π y b d y   =   - b n π 1 - y b cos ⁡ n π x b - b n 2 π 2 s e n   n π x b 0 b =

- b n 2 π 2 s e n   n π - - b n π 1 cos ⁡ 0 - b n 2 π 2 s e n   0   =

b n π

Então encontraremos c n igual a...

c n = 2 b senh ⁡ n π a b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

c n = 2 n π senh ⁡ n π a b

Resposta

b n = 2 - 1 n cosh ⁡ n π b a n π   s e n h n π b a

E

c n = 2 n π senh ⁡ n π a b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação de Laplace uxx + uyy = 0 no paralelogramo cujos vértices são (0, 0), (2, 0), (3, 2) e (1, 2). Suponha que a condição de contorno no lado y = 2 é u(x, 2) = f(x) para 1 ≤ x ≤ 3 e que
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x 2 y ' ' + x y ' + 9 x 2 - 4 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x 2 y ' ' + x y ' + 36 x 2 - 1 4 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . 16 x 2 y ' ' + 16 x y ' + 16 x 2 - 1 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x y ' ' + y ' + x y = 0