Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Mostre quea equação diferencial dada temum ponto singular regular em x   =   0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e asraízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x   >   0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízesforem diferentes e nãodiferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.

1. 2 x y ' ' + y ' + x y = 0

Passo 1

Bora lá pro nosso probleminha!

a) Olha só! Primeiramente vamos dividir toda a E D O por 2 x :

2 x y ' ' + y ' + x y = 0

y ' ' + 1 2 x y ' + 1 2 y = 0

Essa equação está no formato...

y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0

p x = 1 2 x

q x = 1 2

Quando x = 0 , temos que...

P x = 2 x = 0

Desse modo x = 0 é um ponto singular.

Pra testar que tipo de ponto singular ele é...

lim  x → 0 ⁡ x ⋅ p x =

= lim  x → 0 ⁡ x ⋅ 1 2 x = lim  x → 0 ⁡ 1 2 =

= 1 2

E também...

lim  x → 0 ⁡ x 2 ⋅ p x =

= lim  x → 0 ⁡ x 2 ⋅ 1 2 = lim  x → 0 ⁡ x 2 2 = 0

Como os nossos dois limites existem, x = 0 é um ponto singular regular.

Passo 2

b) Para resolver essa letra, vamos utilizar a conversão de y para uma série na forma...

y = x r a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

A primeira derivada de y vai ser...

y ' = ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x n + r - 1

Já a segunda derivada vai valer...

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x n + r - 2

Substituindo essa relações na nossa E D O :

2 x y ' ' + y ' + x y = 0

2 x ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x n + r - 2 + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x n + r - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

2 ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 1 = 0

2 ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r = 0

Como um somatório está começando em 2 e o outro em 0 , vamos fazer alguns ajustes...

a 0 [ 2 r r - 1 + r ] x r + a 1 [ 2 r + 1 r + r + 1 ] x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ [ 2 r + n r + n - 1 a n + r + n a n + a n - 2 ] x n + r = 0

Assumindo que a 0 ≠ 0 , vamos nos concentrar no primeiro termo dessa equação.

a 0 [ 2 r r - 1 + r ] x r

Através dele, sabemos que para que ele seja diferentes de zero, a seguinte condição precisa ser satisfeita...

2 r 2 - r = 0

r 2 r - 1 = 0

r 1 = 0   e   r 2 = 1 2

E com isso, temos que a 1 também vai valer zero... Desse modo, analisando o somatório, obtemos que:

2 r + n r + n - 1 a n + r + n a n + a n - 2 = 0

a n ⋅ r + n 2 r + n - 1 = - a n - 2

a n = - a n - 2 r + n [ 2 r + n - 1 ] ,         n = 2,3 , … .

Passo 3

c) Bom! Esse item pede a solução em série ( x   >   0 ) correspondente à maior raiz, que no caso, é...

r 2 = 1 2

Pra r = 1 / 2 , substituindo no nosso a n , temos que:

a n = - a n - 2 1 2 + n [ 2 1 2 + n - 1 ]

a n = - a n - 2 1 2 + n [ 1 + 2 n - 1 ]

a n = - a n - 2 1 2 + n [ 2 n ]

a n = - a n - 2 n ( 1 + 2 n )   ,       n = 2,3 , … .

Para esse caso, como a 1 = 0 , os outros coeficientes ímpares também vão valer zero. Sendo assim, bora trocar n por 2 k para tirar essa condição, com k = 1,2 ...

a 2 k = - a 2 k - 2 2 k ( 1 + 4 k ) = a 2 k - 4 2 k - 2 2 k ( 4 k - 3 ) ( 4 k + 1 )

a 2 k = a 2 k - 4 2 k - 2 2 k ( 4 k - 3 ) ( 4 k + 1 ) = ( - 1 ) k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ … ⋅ ( 4 k + 1 )

Ou seja, cada vez que diminuímos 2 do termo a 2 k - 2 , a expressão abaixo...

- a 2 k - 2 2 k ( 1 + 4 k )

Acaba virando essa expressãozona aqui:

- a 2 k - 2 2 k ( 1 + 4 k ) = ( - 1 ) k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ … ⋅ ( 4 k + 1 )

E com isso, chegamos até à seguinte solução linearmente independente...

y 1 x = x 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ … ⋅ 4 k + 1

Passo 4

d) Já para a menor raiz, que é...

r 1 = 0

Subtituindo no nosso a n , temos que:

a n = - a n - 2 0 + n [ 2 0 + n - 1 ]

a n = - a n - 2 n [ 2 n - 1 ]

a n = - a n - 2 n ( 2 n - 1 )   ,       n = 2,3 , … .

Para esse caso, como a 1 = 0 , os outros coeficientes ímpares também vão valer zero. Sendo assim, bora trocar n por 2 k para tirar essa condição, com k = 1,2 ...

a 2 k = - a 2 k - 2 2 k ( 4 k - 1 ) = a 2 k - 4 2 k - 2 2 k ( 4 k - 1 ) ( 4 k - 5 )

a 2 k = a 2 k - 4 2 k - 2 2 k ( 4 k - 1 ) ( 4 k - 5 ) = ( - 1 ) k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 4 k - 1 )

Ou seja, cada vez que diminuímos 2 do termo a 2 k - 2 , a expressão abaixo...

- a 2 k - 2 2 k ( 4 k - 1 )

Acaba virando essa expressãozona aqui:

- a 2 k - 2 2 k ( 4 k - 1 ) = ( - 1 ) k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 4 k - 1 )

Desse modo, alcançamos que a solução linearmente independente para esse caso é...

y 2 x = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 4 k - 1 )

Resposta

a)

x = 0   é   u m   p o n t o   s i n g u l a r   r e g u l a r .

b)

y ' ' + 1 2 x y ' + 1 2 y = 0

r 1 = 0   e   r 2 = 1 2

a n = - a n - 2 r + n [ 2 r + n - 1 ] ,         n = 2,3 , … .

c)

c)

y 1 x = x 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ … ⋅ 4 k + 1

d)

y 2 x = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k a 0 2 k ⋅ k ! ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 4 k - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação i