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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 8

Encontre a solução do problema de condução de calor

u x x = 4 u t ,   0 < x < 2 ,   t > 0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( 2 , t ) = 0 ,   t > 0 ;

u ( x , 0 ) = 2 s i n ( π x 2 ) - s i n π x + 4 s i n 2 π x ,   0 ≤ x ≤

Passo 1

Primeiro vamos fazer a separação das variáveis para obter as equações diferenciais:

u ( x , t ) = ϕ ( x ) G ( t ) → ϕ ' ' + 4 λ ϕ = 0     G ' ' + λ G = 0

Depois nós resolvemos a primeira equação diferencial e colocamos as condições iniciais u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( 2 , t ) = 0 . Nós assumimos que λ < 0 . Também não assumimos que G ( t ) = 0 para todos os t :

ϕ ( 0 ) = c 1 = 0

ϕ ( 2 ) = c 2 s i n 4 λ = 0

Agora, achamos as autofunções e os autovalores:

c 2 s i n 4 λ = 0 → 4 λ n = n π → λ n = n 2 π 2 16

ϕ n ( x ) = c n s i n n π 2 x

Passo 2

Então, resolvemos a segunda equação diferencial e colocamos o valor de λ

G = c e - λ n t = c e - n 2 π 2 t 16

Colocamos a última condição inicial e calculamos os coeficientes para ϕ para chegar na solução final:

u ( x , t ) = 2 e - π 2 t 16 s i n π 2 x - e - π 2 t 4 s i n π x + 4 e - π 2 t s i n 2 π x

Resposta

u ( x , t ) = 2 e - π 2 t 16 s i n π 2 x - e - π 2 t 4 s i n π x + 4 e - π 2 t s i n 2 π x

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