Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são

mantidas à temperatura 0°C para todo t > 0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma

expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que α^2 = 1 .

u(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ 20

u(x, 0) = 40 - x, 20 ≤ x ≤ 40

Passo 1

Temos L = 40 ,   α 2 = 1 e u ( x , 0 ) = f ( x )

Onde, f ( x ) = x   q u a n d o   x ∈ [ 0,20 )

f ( x ) = 40 - x ,   q u a n d o   x ∈ [ 20,40 ]

A solução geral é dada pela Equação 19. O que precisamos achar são os coeficientes c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n ( n π x L ) d x

Então,

c n = 2 40 ∫ 0 20 x s i n ( n π w 40 ) d x + ∫ 20 40 ( 40 - x ) s i n ( n π x 40 ) d x =   160 n 2 π 2 s i n n π 2

A solução é:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 160 n 2 π 2 s i n n π 2 e - n 2 π 2 t 1600 s i n n π x 40

Resposta

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 160 n 2 π 2 s i n n π 2 e - n 2 π 2 t 1600 s i n n π x 40

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