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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 23

A equação do calor em duas dimensões espaciais pode ser expressa, em coordenadas polares,

na forma

α 2 [ u r r + ( 1 r ) u r + ( 1 r 2 ) u θ θ ] = u t    

Supondo que u ( r , θ , t ) = R ( r ) Θ ( θ ) T ( t ) , encontre as equações diferenciais ordinárias satisfeitas

por R ( r ) ,   Θ ( θ ) ,   T ( t )

Passo 1

Substituímos a solução u ( x , y , t ) = R ( r ) Θ ( θ ) T ( t ) no EDP e separamos as variáveis para obter o sistema de três EDOs de 2ª ordem:

α ² ( R ' ' Θ T + 1 r R ' Θ T + 1 r 2 R Θ ' ' T ) = R Θ T '

Dividimos a equação por Θ R T :

R ' ' R + R ' r R + Θ ' ' r ² Θ = T ' α ² T = - λ 2

R ' ' + R ' r R + ( λ 2 - μ 2 ) R = 0

Θ ' ' + μ 2 r 2 Θ = 0

Resposta

R ' ' R + R ' r R + Θ ' ' r ² Θ = T ' α ² T = - λ 2

R ' ' + R ' r R + ( λ 2 - μ 2 ) R = 0

Θ ' ' + μ 2 r 2 Θ = 0

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