A equação do calor em duas dimensões espaciais é:

α^2 (u_xx + u_yy) = u_t

Supondo que u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t), encontre as equações diferenciais ordinárias satisfeitas por X(x), Y(y) e T(t) .

Passo 1

Vamos substituir a solução u ( x , y , t ) = X ( x ) Y ( y ) T ( t ) na EDP e separar as variáveis para obter um sistema de 3 EDOs de segunda ordem:

α 2 ( X ' ' Y T + Y ' ' X T ) = X Y T '

X ' ' X + Y ' ' Y = T ' T α 2 =   - λ 2

T ' + λ 2 α 2 T = 0

X ' ' X =   - λ 2 - Y ' ' Y =   - μ 2

X ' ' + μ 2 X = 0

Y ' ' + ( λ 2 - μ 2 ) Y = 0

Resposta

T ' + λ 2 α 2 T = 0

X ' ' + μ 2 X = 0

Y ' ' + ( λ 2 - μ 2 ) Y = 0

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