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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 22

A equação do calor em duas dimensões espaciais é:

α 2 ( u x x + u y y ) = u t

Supondo que u ( x , y , t ) = X ( x ) Y ( y ) T ( t ) , encontre as equações diferenciais ordinárias satisfeitas por X ( x ) ,   Y ( y )   e   T ( t ) .

Passo 1

Vamos substituir a solução u ( x , y , t ) = X ( x ) Y ( y ) T ( t ) na EDP e separar as variáveis para obter um sistema de 3 EDOs de segunda ordem:

α 2 ( X ' ' Y T + Y ' ' X T ) = X Y T '

X ' ' X + Y ' ' Y = T ' T α 2 =   - λ 2

T ' + λ 2 α 2 T = 0

X ' ' X =   - λ 2 - Y ' ' Y =   - μ 2

X ' ' + μ 2 X = 0

Y ' ' + ( λ 2 - μ 2 ) Y = 0

Resposta

T ' + λ 2 α 2 T = 0

X ' ' + μ 2 X = 0

Y ' ' + ( λ 2 - μ 2 ) Y = 0

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
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