Enunciado

Uma massa de 0,5 kg é suspensa por uma mola cuja constante é 6 N/m. O sistema é colocado em movimento em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a duas vezes a velocidade instantânea. Encontre a solução para o estado estacionário se uma força externa f t = 40 . s e n ( 2 t ) age no sistema a partir de t = 0 . Escreva essa solução na forma de um múltiplo de s e n 2 t + θ .

Passo 1

Salve salve, bora lá?

O modelo de uma equação diferencial para esses casos é:

d 2 x d t 2 + β m d x d t + k m x = f t m

No caso temos k = 6 ,   f t = 40 . s e n 2 t , β = 2 e m = 0,5 :

d 2 x d t 2 + 2 0,5 d x d t + 6 0,5 x = 40 . s e n 2 t 0,5

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 12 x = 8 0 . s e n 2 t

Além disso, temos:

x 0 = x ' 0 = 0

Agora vamos lá resolver essa equação :P

Passo 2

Temos

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 12 x = 80 . s e n 2 t

x 0 = x ' 0 = 0

Então

x t = - 5 . cos ⁡ 2 t + 5 . s e n ( 2 t )

Resposta

x t = - 5 . cos ⁡ 2 t + 5 . s e n ( 2 t )

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