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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 12

Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

y 4 = r 4 e r t

r 4 + 2 r ³ + r ² + 8 r - 12 = 0

r = - 3 ,   1 ± 2 i  

y c t = C 1 e - 3 t + C 2 e t + C 5 cos ⁡ 2 t + C 6 sin ⁡ 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y p   4 + 2 y p ' ' ' + y p ' ' + 8 y p - 12 = 12 sin ⁡ t - e - t

6 A - 12 B cos ⁡ t + - 12 A - 6 B sin ⁡ t - 20 C e - t   = 12 sin ⁡ t - e - t

A = - 4 5

B = - 2 5

C = 1 20

y t = C 1 e - 3 t + C 2 e t + C 5 cos ⁡ 2 t + C 6 sin ⁡ 2 t - 4 5 sin ⁡ t   - 2 5 cos ⁡ t + e - t 20

C 1 = 73 520

C 2 = 81 40

C 5 = 77 65

C 6 =   - 49 130

y t = 73 520 e - 3 t + 81 40 e t + 77 65 cos ⁡ 2 t - 49 130 sin ⁡ 2 t - 4 5 sin ⁡ t   - 2 5 cos ⁡ t + e - t 20

Resposta

y t = 73 520 e - 3 t + 81 40 e t + 77 65 cos ⁡ 2 t - 49 130 sin ⁡ 2 t - 4 5 sin ⁡ t   - 2 5 cos ⁡ t + e - t 20

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