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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 2

Determine a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

y ( 4 ) = r 4 e r t

Para descobrir a solução homogênea, vamos igualar nossa EDO a zero e achar suas raízes.

r 4 - 1   = 0

r = - 1     ,   1   ,   ± i

y t = C 5 cos ⁡ t + C 6 sin ⁡ t + C 3 e - t + C 4 e t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Agora, vamos achar nossa solução particular e as nossas constantes.

y p 4 -   y p   = 3 t + cos ⁡ t

- A - B t + 4 C sin ⁡ t - 4 D cos ⁡ t = 3 t + cos ⁡ t  

A = 0

B = - 3

C = 0

D =   - 1 4

y t = C 5 cos ⁡ t + C 6 sin ⁡ t + C 3 e - t + C 4 e t - 3 t - t sin ⁡ t 4

Resposta

y t = C 5 cos ⁡ t + C 6 sin ⁡ t + C 3 e - t + C 4 e t - 3 t - t sin ⁡ t 4

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