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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 33

Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞?

.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

y 4 = r 4 e r t

2 r 4 - r 3 - 9 r 2 + 4 r + 4   = 0

r = - 2   ,   - 1 2   ,   1   ,   2

y t = C 1 e - 2 t + C 2 e - 1 / 2 t + C 3 e t + C 4 e 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y 0 = - 2

y 0 ' = 0

y 0 ' ' = - 2

y 0 ' ' ' = 0

C 1 = - 1 6

C 2 = - 16 15

C 3 =   - 2 3

C 4 =   - 1 10

y t = - 1 6 e - 2 t - 16 15 e - 1 / 2 t - 2 3 e t - 1 10 e 2 t

Resposta

y t = - 1 6 e - 2 t - 16 15 e - 1 / 2 t - 2 3 e t - 1 10 e 2 t

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