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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 34

Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞?

.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

4 r 3 + r + 5   = 0

r = - 1   ,   1 2 ± i

y t = C 1 e - 2 t + C 2 e 1 2 - i t + C 3 e 1 2 + i t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y 0 = 2

y 0 ' = 1

y 0 ' ' = - 1

C 1 = 2 13

C 2 = 12 13 + i 3 26

C 3 = 12 13 - i 3 26

y t = 2 13 e - t + e t 2 24 13 cos ⁡ t + 3 13 sin ⁡ t

Resposta

y t = 2 13 e - t + e t 2 24 13 cos ⁡ t + 3 13 sin ⁡ t

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