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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 16

Encontre a solução formal do problema de valor inicial

y ' ' + ω 2 y = f ( t ) ,

y 0 = 1 ,

y ' 0 = 0

Em que f é periódica com período 2 e

f t = 1 - t , 0 ≤ t < 1 , - 1 + t , 1 ≤ t < 2

Passo 1

A função f ( t ) é periódica. Então, nosso primeiro passo será escrevê-la como uma série de Fourier. A série de Fourier é uma função da forma:

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t L + b n sen ⁡ n π t L

Em que a 0 , a n e b n são constantes definidas para cada valor de n = 1 ,   2 ,   … ,   ∞ e, L corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida ( - L ≤ t < L ) . Usamos a série de Fourier como uma representação de uma função periódica g ( t ) qualquer, em que os valores de g ( t ) podem ser aproximados pela somatória de m termos da série f ( t ) . Agora que já relembramos o conceito da série de Fourier, vamos ao exercício.

Nosso primeiro passo será reescrever a função como:

f t = t - 1 , - 1 ≤ t < 0 , 1 - t , 0 ≤ t < 1

Então, para a nossa função L = 1 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f t d t

Substituindo a função f ( x ) :

a 0 = 1 1 ∫ - 1 0 ( t - 1 ) d t + ∫ 0 1 ( 1 - t ) d t

a 0 = ∫ - 1 0 t d t - ∫ - 1 0 d t + ∫ 0 1 d t - ∫ 0 1 t d t

a 0 = t 2 2 - 1 0 - t 2 2 0 1 - t - 1 0 + t 0 1

a 0 = 0 - 1 2 - 1 2 - 0 - 0 - - 1 + ( 1 - 0 )

a 0 = - 1 - 1 + 1 = - 1

Agora vamos determinar a n . Ele é dado por:

a n = 1 L ∫ - L L f t cos ⁡ n π t L d t

Aplicando f ( t ) e L ficamos com

a n = 1 1 ∫ - 1 0 ( t - 1 ) cos ⁡ n π t d t + ∫ 0 1 ( 1 - t ) cos ⁡ n π t d t

a n = ∫ - 1 0 t cos ⁡ n π t d t - ∫ 0 1 t cos ⁡ n π t d t - ∫ - 1 0 cos ⁡ n π t d t + ∫ 0 1 cos ⁡ n π t d t

a n = 1 n π t sen ⁡ n π t - 1 0 - 1 n π ∫ - 1 0 sen ⁡ n π t d t - 1 n π t sen ⁡ n π t 0 1 + 1 n π ∫ 0 1 sen ⁡ n π t d t - 1 n π sen ⁡ n π t - 1 0 + 1 n π sen ⁡ n π t 0 1

a n = 1 n π 0 - - sen ⁡ - n π + 1 n π 2 cos ⁡ n π t - 1 0 - 1 n π sen ⁡ n π - 0 - 1 n π 2 cos ⁡ n π t 0 1 - 1 n π ( 0 - sen ⁡ - n π ) + 1 n π sen ⁡ n π - 0

Como n é um inteiro, sen ⁡ n π = 0 , para qualquer valor de n . Então:

a n = 1 n π 2 ( cos ⁡ 0 - cos ⁡ - n π ) - 1 n π 2 ( cos ⁡ n π - cos ⁡ 0 )

a n = 1 n π 2 1 - cos ⁡ n π - 1 n π 2 ( cos ⁡ n π - 1 )

a n = 2 ( π n ) 2 ( 1 - cos ⁡ n π )

Por fim, vamos calcular b n . Ele é dado por:

b n = 1 L ∫ - L L f t sen ⁡ n π t L d t

Substituindo f ( t ) e L :

b n = 1 1 ∫ - 1 0 ( t - 1 ) sen ⁡ n π t d t + ∫ 0 1 ( 1 - t ) sen ⁡ n π t d t

b n = ∫ - 1 0 t sen ⁡ n π t d t - ∫ 0 1 t sen ⁡ n π t d t - ∫ - 1 0 sen ⁡ n π t d t + ∫ 0 1 sen ⁡ n π t d t

b n = - 1 n π t cos ⁡ n π t - 1 0 + 1 n π ∫ - 1 0 cos ⁡ n π t d t + 1 n π t cos ⁡ n π t 0 1 - 1 n π ∫ 0 1 cos ⁡ n π t d t + 1 n π cos ⁡ n π t - 1 0 - 1 n π cos ⁡ n π t 0 1

b n = - 1 n π 0 - - cos ⁡ - n π + 1 n π 2 sen ⁡ n π t - 1 0 + 1 n π cos ⁡ n π - 0 - 1 n π 2 sen ⁡ n π t 0 1 + 1 n π cos ⁡ n π t - 1 0 - 1 n π cos ⁡ n π t 0 1

b n = - 1 n π cos ⁡ n π + 1 n π 2 ( sen ⁡ 0 - sen ⁡ - n π ) + 1 n π cos ⁡ n π - 1 n π 2 ( sen ⁡ n π - sen ⁡ 0 ) + 1 n π cos ⁡ n π t - 1 0 - 1 n π cos ⁡ n π t 0 1

b n = - 1 n π cos ⁡ n π + 1 n π cos ⁡ n π + 1 n π cos ⁡ 0 - cos ⁡ - n π - 1 n π ( cos ⁡ n π - cos ⁡ 0 )

b n = 1 n π 1 - cos ⁡ n π - 1 n π ( cos ⁡ n π - 1 )

b n = 2 n π ( 1 - cos ⁡ n π )

Aplicando na função de Fourier:

f t = - 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 ( π n ) 2 ( 1 - cos ⁡ n π ) cos ⁡ n π t + 2 n π ( 1 - cos ⁡ n π ) sen ⁡ n π t

Passo 2

Voltando para o problema de valor inicial:

y ' ' + ω 2 y = f ( t )

y ' ' + ω 2 y = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t + b n sen ⁡ n π t

Para resolvê-lo, vamos aplicar a transformada de Laplace:

L y ' ' + ω 2 L y = a 0 2 L 1 + ∑ n = 1 ∞ a n L cos ⁡ n π t + ∑ n = 1 ∞ b n L sen ⁡ n π t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + ω 2 Y s = a 0 2 s + ∑ n = 1 ∞ a n s s 2 + n 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n π s 2 + n 2 π 2

s 2 Y s - s + ω 2 Y s = a 0 2 s + ∑ n = 1 ∞ a n s s 2 + n 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n π s 2 + n 2 π 2

s 2 + ω 2 Y s = a 0 2 s + ∑ n = 1 ∞ a n s s 2 + n 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n π s 2 + n 2 π 2 + s

Y s = a 0 2 s s 2 + ω 2 + ∑ n = 1 ∞ a n s s 2 + n 2 π 2 s 2 + ω 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n π s 2 + n 2 π 2 s 2 + ω 2 + s s 2 + ω 2

Y s = a 0 ω 2 s ω s 2 + ω 2 + ∑ n = 1 ∞ a n s ω s 2 + n 2 π 2 ω s 2 + ω 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n π ω s 2 + n 2 π 2 ω s 2 + ω 2 + s s 2 + ω 2

Chamando:

G s = a 0 2 1 s → g t = a 0 2

H s = 1 ω ω s 2 + ω 2 → h t = 1 ω sen ⁡ ω t

J s = ∑ n = 1 ∞ a n s s 2 + n 2 π 2 → j t = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t

K s = ∑ n = 1 ∞ b n n π s 2 + n 2 π 2 → k t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π t

L s = s s 2 + ω 2 → l t = cos ⁡ ω t

Então:

Y s = G s + H s J s + H s K s + L ( s )

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y s = y t = L - 1 G s + H s J s + H s K s + L ( s )  

y t = g t + ∫ 0 t h t - τ j τ d τ + ∫ 0 t h t - τ k τ d τ + l ( t )

y t = a 0 2 + ∫ 0 t 1 ω sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ + ∫ 0 t 1 ω sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ + cos ⁡ ω t

Passo 3

Vamos calcular as integrais separadamente:

∫ 0 t 1 ω sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ = 1 ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ

1 ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ = 1 ω cos ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ ω 0 t + n π ω ∫ 0 t cos ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n sen ⁡ n π τ d τ

∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t ω + n π ω - sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n sen ⁡ n π t ω 0 t + n π ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ

( 1 - n 2 π 2 ω 2 ) ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t ω + n π ω - sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n sen ⁡ n π t ω 0 t

∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ = ω 2 ω 2 - n 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t ω

1 ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π τ d τ = 1 ω 2 - n 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t

E, também:

∫ 0 t 1 ω sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ = 1 ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ

∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ = cos ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ ω 0 t - n π ω ∫ 0 t cos ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π τ d τ

∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π t ω - n π ω - s en ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π τ ω 0 t - n π ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ

( 1 - n 2 π 2 ω 2 ) ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π t ω - n π ω - sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π τ ω 0 t

ω 2 - n 2 π 2 ω 2 ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π t ω - n π ω 2 ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ω t

1 ω ∫ 0 t sen ⁡ ω t - τ ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π τ d τ = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π t ω 2 - n 2 π 2 - n π ω ( ω 2 - n 2 π 2 ) ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ω t

Substituindo na equação de y ( t ) :

y t = - 1 2 + 1 ω 2 - n 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t + ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π t ω 2 - n 2 π 2 - n π ω ( ω 2 - n 2 π 2 ) ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ω t + cos ⁡ ω t

y t = - 1 2 + cos ⁡ ω t + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t ω 2 - n 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ b n ω sen ⁡ n π t - n π sen ⁡ ω t ω ω 2 - n 2 π 2

Substituindo a n e b n :

y t = - 1 2 + cos ⁡ ω t + ∑ n = 1 ∞ 2 ( π n ) 2 ( 1 - cos ⁡ n π ) cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t ω 2 - n 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 n π ( 1 - cos ⁡ n π ) ω sen ⁡ n π t - n π sen ⁡ ω t ω ω 2 - n 2 π 2

Resposta

y t = - 1 2 + cos ⁡ ω t + ∑ n = 1 ∞ 2 ( π n ) 2 ( 1 - cos ⁡ n π ) cos ⁡ n π t - cos ⁡ ω t ω 2 - n 2 π 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 n π ( 1 - cos ⁡ n π ) ω sen ⁡ n π t - n π sen ⁡ ω t ω ω 2 - n 2 π 2

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