Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 9
Calcule a integral dupla.
Passo 1
E aí, meu povo! Tudo bem?
A questão quer o valor da integral dupla:
Onde é:
Para calcular integrais duplas usamos o Teorema de Fubini:
Se for contínua no retângulo , então:
Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”, realizando primeiro a integral que está pra dentro, e depois esse resultado será a integral de fora.
Nós podemos escolher qual variável vamos integrar primeiro. Essa escolha vai depender de qual ordem vai deixar nosso cálculo de integral mais simples.
Para os limites de integração da nossa série, o enunciado nos dá:
E:
São nossos intervalos de integração da integral dupla. Como o intervalo de integração para tem termos dependentes de , vamos colocar a integral de como a integral “de dentro”, já que isso simplifica nosso cálculo. Então, teremos:
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função com relação a , que é a integral que está por dentro, e considerar como uma constante. Podemos dizer que:
Aplicando os limites de integração:
Multiplicando as funções:
Logo:
Passo 3
Agora vamos resolver:
Como temos uma multiplicação de funções com relação a , temos que aplicar algum método para resolver. Vamos tentar o método da substituição. Consideraremos:
Logo, derivando dos dois lados, temos:
Agora temos que rearranjar a integral de forma que nos ajude a substituir.
Mas antes, temos que ver se os limites de integração serão afetados. Vamos lá:
Portanto nossos novos limites de integração quando , são de .
Tirando a constante para fora da integral:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Logo:
Então: